Blocage de cardan

Le blocage de cardan est la perte d'un degré de liberté, plus connue sous le nom anglais de gimbal lock, qui survient lorsque les axes de deux des trois cardans nécessaires pour appliquer ou compenser les rotations dans l'espace à trois dimensions...

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Un ensemble de trois cardans montés de manière à accorder trois degrés de liberté

Le blocage de cardan est la perte d'un degré de liberté, plus connue sous le nom anglais de gimbal lock, qui survient lorsque les axes de deux des trois cardans nécessaires pour appliquer ou compenser les rotations dans l'espace à trois dimensions sont portés par la même direction.

Un cardan est un anneau fixé de manière à pouvoir tourner autour d'un axe. Les cardans sont fréquemment imbriqués les uns dans les autres de manière à pouvoir tourner autour de plusieurs axes. Ils apparaissent dans les gyroscopes et dans les centrales à inertie pour permettre au cardan le plus intérieur de rester fixe tandis que la fixation du cardan extérieur peut prendre n'importe quelle orientation, dans les compas, les volants à inertie ou plus familièrement dans des porte-bouteilles pour permettre aux objets de rester horizontaux. Ils servent à orienter les propulseurs d'une fusée^[1]. Certains dispositifs de coordonnées mathématiques se comportent comme si des cardans réels étaient utilisés pour mesurer les angles. Quand il y a au moins trois cardans imbriqués d'une certaine façon, le blocage de cardan peut se produire.

Exemple

Situation normale : les trois cardans sont indépendants

Blocage de cardan : deux des trois cardans sont coplanaires, un degré de liberté est perdu

Prenons le cas d'une plate-forme de mesure de l'altitude sur un avion qui vole vers le Nord disposant de trois axes de cardans à angles droits deux à deux, c'est-à-dire le roulis, le tangage et le lacet, chacun valant zéro. Si l'avion s'incline de 90 degrés vers le haut, l'axe de roulis de l'avion et de la plate-forme devient parallèle à l'axe du cardan de lacet, et on ne peut plus compenser les changements de lacet (voir illustration ci-contre).

Le mot blocage est trompeur : aucun cardan ne se bloque, les trois cardans peuvent toujours tourner librement autour de leurs axes de fixation respectifs. Néanmoins, comme les axes de roulis et de lacet sont parallèles, il n'y a plus d'axe disponible pour réagir aux changements de lacet.

Solutions

On peut pallier le problème en utilisant un quatrième cardan, déplacé de manière intelligente au moyen d'un moteur, de façon à maintenir un grand angle entre les axes de cardans du roulis et du lacet.

Une autre solution consiste à tourner un ou plusieurs cardans vers une position arbitraire au moment où le blocage de cardan est détecté, en réinitialisant ainsi le système.

L'approche moderne est d'éviter totalement d'utiliser des cardans. Dans le contexte de centrales à inertie, cela peut se faire en montant directement les capteurs inertiels au corps du véhicule (plateforme inertielle liée) ^[2] et en exploitant les données de rotation et d'accélération ainsi captées en utilisant des méthodes à base de quaternions pour en déduire l'orientation et la vitesse du véhicule. Une autre manière de remplacer les cardans est d'utiliser des supports à fluide ou une chambre de flottaison^[3].

Le blocage de cardan à bord de Apollo 11

Une anecdote bien connue à propos du blocage de cardan concerne la mission lunaire Apollo 11. Sur ce vaisseau spatial, un jeu de cardans était utilisé sur une centrale à inertie. Les ingénieurs étaient avertis du problème du blocage de cardan, mais s'étaient refusé à employer un quatrième cardan^[4]. La justification de ce choix apparaît en partie dans dans la citation suivante :

«Les avantages d'un cardan surnuméraire semblent moindres que la simplicité de l'équipement, le gain de place, et la fiabilité naturelle d'une unité à trois degrés de liberté directs.»

Ils ont préféré une solution alternative s'appuyant sur un système qui se serait déclenché à l'approche de 85 degrés de roulis. Ce système n'a pas fonctionné^[5] :

«À l'approche de ce point, au sein d'une boucle de stabilisation fermée, les moteurs de torsion pouvaient habituellement être commandés pour faire tourner le cardan de 180 degrés d'un seul coup. Au lieu de cela, dans le module lunaire, l'ordinateur a fait clignoter un avertissement «blocage de cardan» à 70 degrés et a gelé la plate-forme inertielle à 85 degrés»

Cela a inspiré au pilote du module de commande Mike Collins une fameuse pointe d'humour tandis qu'il communiquait par radio avec la Terre :

«Que diriez-vous de m'envoyer un quatrième cardan pour Noël ?»

Le blocage de cardan en mathématiques appliquées

Le problème du blocage de cardan apparaît quand on utilise les angles d'Euler dans une application des mathematiques, par exemple dans un logiciel (modélisation 3D, dispositif de navigation embarqué, jeu vidéo, métavers, ... ).

Les angles d'Euler offre une description numérique d'un rotation quelconque de l'espace à trois dimensions au moyen de trois nombres.

Pour faire une comparaison, l'ensemble des translations peuvent se décrire au moyen de trois nombres $x$ , $y$ et $z$ comme la succession de trois mouvements en ligne droite le long de trois axes perpendiculaires $X$ , $Y$ et $Z$ . Il en va de même pour les rotations, l'ensemble des rotations peuvent se décrire au moyen de trois nombres $α$ , $β$ et $γ$ , comme la succession de trois mouvements de rotation autour de trois axes perpendiculaires l'un avec le suivant. Cette ressemblance entre les coordonnées linéaires et les coordonnées angulaires rend les angles d'Euler particulièrement intuitifs, mais malheureusement ils souffrent du problème du blocage de cardan.

Perte d'un degré de liberté avec les angles d'Euler

Une rotation de l'espace à trois dimensions peut se représenter numériquement au moyen de matrices de plusieurs manières. Une de ces représentations est :

$\begin{align} R &= \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & -\sin \beta \\ 0 & \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$

avec $α$ et $γ$ contraints dans l'intervalle $[ - π, π]$ et $β$ contraint dans l'intervalle $[0, π]$ .

Examinons par exemple ce qui se passe quand $β = 0$ . Comme $cos0 = 1$ et $sin0 = 0$ , l'expression ci-dessus devient identique à :

$\begin{align} R &= \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$

La seconde matrice est la matrice identité et n'a pas d'effet sur le produit. Si on multiplie la première matrice par la troisième, on obtient :

$\begin{align} R &= \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma & -\cos \alpha \sin \gamma - \sin \alpha \cos \gamma & 0 \\ \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma & -\sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$

Enfin, en appliquant les formules de trigonométrie :

$\begin{align} R &= \begin{bmatrix} \cos ( \alpha + \gamma ) & -\sin (\alpha + \gamma) & 0 \\ \sin ( \alpha + \gamma ) & \cos (\alpha + \gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$

Changer les valeurs de $α$ et de $γ$ dans la matrice ci-dessus a le même effet : l'angle de rotation $α + γ$ change, mais l'axe de rotation reste dans la direction $Z$ . La dernière colonne et la dernière ligne de la matrice ne changeront pas : un degré de liberté a été perdu.

La seule solution pour que $α$ et $γ$ recommencent à jouer des rôles différents est d'éloigner $β$ de la valeur $0$ .

Un problème identique apparaît quand $β = π$ .

On peut choisir d'autres conventions pour représenter une rotation avec une matrice au moyen d'angles d'Euler que la convention Z-X-Z ci-dessus et on peut aussi choisir d'autres intervalles de variation pour les angles, mais dans l'ensemble des cas, il y a au moins une valeur pour laquelle un degré de liberté est perdu.

On remarquera que le problème du blocage de cardan ne rend pas les angles d'Euler «faux» (ils continuent à jouer leur rôle de dispositif de coordonnées), mais les rend mal adaptés à un certain nombre d'applications pratiques.

La solution des quaternions

Une autre représentation des rotations dans l'espace à trois dimensions est celle des quaternions.

Un quaternion est un quadruplet $(s,\ x,\ y,\ z)$ qui représente dans le cas général une similitude géometrique. Si la relation $s 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1$ est vérifiée, alors le quaternion est parfois utilisé pour représenter une rotation.

D'un point de vue pratique, une rotation d'angle $\mathbf{\theta}$ autour de l'axe dirigé par un vecteur unitaire $\overrightarrow{N}\begin{bmatrix}x_0\\ y_0\\ z_0\end{bmatrix}$ est représentée par le quaternion $(\cos (\theta / 2),\ x_0 \cdot \sin (\theta / 2),\ y_0 \cdot \sin (\theta / 2),\ z_0 \cdot \sin (\theta / 2) )$ .

Il n'y a pas de problème équivalent à celui du blocage de cardan avec les quaternions. Cela peut s'expliquer de manière intuitive par le fait qu'un quaternion décrit une rotation en bloc («veuillez tourner de $\mathbf{\theta}$ radians autour de l'axe porté par le vecteur $\overrightarrow{N}$ »), alors que les angles d'Euler sont composés de trois rotations successives.

En plus de cela, les quaternions ont d'autres avantages sur les angles d'Euler.

Le blocage de cardan dans la culture populaire

Le blocage de cardan est mentionné dans une scène importante du film Apollo 13.

Notes et références

↑ (en) Jonathan Strickland, «What is a gimbal -- and what dœs it have to do with NASA?», 2008
↑ (en) Chris Verplætse, «Overview of Pen Design and Navigation Background», 1995
↑ (en) Chappell, Charles, D., «Articulated gas bearing support pads», 2006
↑ (en) David Hoag, «Apollo Guidance and Navigation - Considerations of Apollo IMU Gimbal Lock - MIT Instrumentation Laboratory Document E-1344», 1963
↑ (en) Eric M. Jones et Paul Fjeld, «Gimbal Angles, Gimbal Lock, and a Fourth Gimbal for Christmas», 2006

Liens externes

(en) Vidéo expliquant le blocage de cardan au moyen d'une animation

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